Lösungen Teil 1

Teil 2 weiter unten!

1

In Matrixdarstellung:

OA={-3,5,2}; OB={1,-3,4}; AB=OB-OA;
Print[MatrixForm[Transpose[{OA}]],"  ", MatrixForm[Transpose[{OB}]],"  ", MatrixForm[Transpose[{AB}]]];

2

Remove["Global`*"];

OA={2,1,3}; OB={3,0,2}; OC={5,-1,-3}; OD={3,1,-1};
AB=OB-OA; AC=OC-OA; CD=OD-OC; AA=OA-OA;
Solve[AB==x AC,{x}]

(*  AB nict parallel AC  *)

Solve[AB==x CD,{x}]

(*  AB parallel CD  *)

Solve[x AB==AA,{x}]

(*  AB parallel AA  *)

Solve[x AB==AC,{x}]

(*  AB parallel AC  *)

3

OA={-4,5,1}; OB={2,6,3}; OC={6,-2,-1}; OD={12,-1,1}; OE={6,1,2};
AB=OB-OA; AC=OC-OA; CD=OD-OC; DB=OB-OD;

Solve[x AB==CD,{x}]

Solve[x AB==OE,{x}]

(*  AB, CD und OE sind gleich und somit parallel  *)

Solve[x AB==AC,{x}]

(*  AB, CD und AC sind nicht parallel  *)

Solve[x AC==DB,{x}]

(*  AC und DB sind antiparallel  *)

4

In Matrixdarstellung:

a={-1,2,5}; b={0,-2,3};
Print[MatrixForm[Transpose[{3 a}]], "   ", MatrixForm[Transpose[{a-2b}]]];

5

Nicht in Matrixdarstellung:

e = a 1/Norm[a]

N[%]

6

OA={2, -3, 5}; OB={7, -7, 6}; OC={27, -23, 10};

Solve[x (OB-OA)==OC-OA,{x}]

(*  Die Punkte liegen auf einer Geraden.  *)

7

Nicht in Matrixdarstellung:

OC={x, y, 4};  OA={3, -4, 2}; OB={7, 2, 1};
solv = Solve[t (OB-OA)[[3]] == (OC-OA)[[3]],{t}] //Flatten

OC=t (OB-OA)+OA /.solv

8

Nicht in Matrixdarstellung:

OA={1,1,1};  OC={-5,3,2};  OD={-2,-4,-2}; 
DA=OA-OD;
OB=OC+DA

9

Nicht in Matrixdarstellung:

OA={3,-2,5};  OB={7,5,10};  OE={5,4,6}; 
AE=OE-OA;  BE=OE-OB;
OC=OA+2 AE

OD=OB+2 BE

10

Nicht in Matrixdarstellung:

OA={1, 3, -2}; OB={5, -1, 4};
OM = 1/2 (OA+OB)

11

Nicht in Matrixdarstellung:

OA={-4, 2, -1}; OB={7, -1, 5}; OC={0, 2, 2};
OS = 1/3 (OA+OB+OC)

12

In Matrixdarstellung:

OA={0, -2, 1}; OB={-1, 5, 0}; OD={1, -1, 4};
OM= 1/2 (OC+OD);  ON= 1/2 (OM+OB);
x = ON;
Print[MatrixForm[Transpose[{x}]], " = ", MatrixForm[Transpose[{x//N}]]];

13

"vec" bedeutet "Vektor".
vec(OS) = 1/3 (vec(OA) +vec(OB) +vec(OC) )

14

----

15

vec(u) = 0.5 (vec(c) - vec(a))
vec(v) = vec(c) + 0.5 (vec(b) - vec(c)) - 
vec(a) + 0.5 (vec(b) - vec(a)) = 0.5 (vec(c) - vec(a))
Somit        vec(u) = vec(v)

Lösungen Teil 2

1

"vec" bedeutet "Vektor".
vec(AS) = 1/3 (vec(AB) +vec(AC) +vec(OC) )
vec(AF) = 1/4 vec(AD) + 1/6 (vec(AB) +vec(AC) )

2

180 Degree//N

F[α_,r_]:= r {Cos[α Degree],Sin[α Degree]} ;
F[-30,190]+F[40,80]+F[(90+25),100]

%//N

Norm[%]

3

Achtung: Hier werden die Koordinatenachsen in der natürlichen Reihenfolge gewählt. Dies kann auch anders geschehen. Dann Aendert die Reihenfolge der Koordinaten, nicht aber die Grösse.

K1={7,6,-5}/Norm[{7,6,-5}] 2000

%//N

K2={0,6,-5}/Norm[{0,6,-5}] 800

%//N

K1+K2

%//N

E1={-7,0,-3}/Norm[{-7,0,-3}];
E2={0,0,-3}/Norm[{0,0,-3}];
E3={0,-6,-3}/Norm[{0,-6,-3}];
solv= Solve[K1+K2 == λ1 E1+ λ2 E2+ λ3 E3,{λ1,λ2,λ3}]// Flatten

λ1 E1 /.solv

%//N

Norm[%]

λ2 E2 /.solv

%//N

Norm[%]

λ3 E3 /.solv

%//N

Norm[%]

4

Remove["Global`*"];

F1 = {0,0,3}/Norm[{0,0,3}];
F2 = {0,-4,3}/Norm[{0,-4,3}];
F3 = {12,-4,3}/Norm[{12,-4,3}];
x = λ1 F1 + λ2 F2 + λ3 F3

Die F sind normiert, alle λ müssen daher gleich sein.

x = 65 (F1 + F2 + F3)

5

Z.B. der erste, der zweite und der fünfte Vektor:

Det[{{2,-1,-3},{0,1,2},{1,0,2}}]

5 ungleich 0 !

6

a1={1,-2,3};
a2={0,1,-1};
a3={-2,0,4};
b1={0,3,1};
b2={-1,3,1};
b3={5,-6,1};
x={2,-3,2};

Det[{a1,a2,a3}]

5 ungleich 0 ==> Basis

Det[{b1,b2,b3}]

9 ungleich 0 ==> Basis

solv1 = Solve[x==λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3, {λ1,λ2,λ3}]//Flatten

Das sind die Komonenten.

solv1 = Solve[x==λ1 b1 + λ2 b2 + λ3 b3, {λ1,λ2,λ3}]//Flatten

Das sind die Komonenten.

7

OA={2,-3,5};  OB={7,-7,5};  OC={0,1,7};  OD={2,3,6}; 
AB=OB-OA; AC=OC-OA; AD=OD-OA;
Solve[OD==OA+λ AB+μ AC,{λ,μ}]

Nicht auf einer Ebene.

Det[{AB,AC,AD}]

Resultat ungleich null: Nicht auf einer Ebene.