Lösungen

1

Remove["Global`*"]

u={0,0,1};
eu=u 1/Norm[u];
uv=100 eu; 
a={1,0,-1};
ea=a 1/Norm[a];
b={0,1,-1};
eb=b 1/Norm[b];
c={-1,-1,-1};
ec=c 1/Norm[c];
d={-1,-3,-1};
ed=d 1/Norm[d];
dv=300 ed;
v[δ_]:=δ ed;

a

Nein. Eine Vorspannkraft in einem Bein muss bekannt sein. Ein Vektor kann man im Raum nur nach 3 Basisvektoren zerlegen.

b

uv  ==  α ea+ β eb+ γ ec + dv

Solve[uv == α ea+ β eb+ γ ec + dv ,{α,β,γ}]

N[%]

c

Norm[ea]==Norm[eb]

ea und eb sind gleich lang!

Solve[uv == α ea+ β eb+ γ ec + v[δ] ,{α,β,γ}]

N[%]//ExpandAll

Damit die Kräfte in ea und eb gleich gross sind, muss α und β gleich gross sein. Dann muss δ = 0 gelten. Dann muss gelten:

-47.1405 Norm[ea] == -57.735 Norm[ec]

{-47.1405 Norm[ea], -57.735 Norm[ec]}

Dann sind aber die Kräfte in ea und in ec sehr verschieden.

d

Dann stellt sich die Vorspannung auf natürliche Weise durch die Verformungskräfte selbst ein, bis ein Gleichgewicht herrscht.

2

Remove["Global`*"]

a

k[x_,y_]:=x^2+y^2-1;
<< Graphics`ImplicitPlot`;
ImplicitPlot[k[x,y] == 0, {x, -1,1}];

b

el[x_,y_]:=x^2/5^2+y^2/3^2-1;
<< Graphics`ImplicitPlot`;
ImplicitPlot[el[x,y] == 0, {x, -5,5}];

c

Dreh[φ_]:={{Cos[φ],-Sin[φ]},{Sin[φ],Cos[φ]}}; Dreh[φ]// MatrixForm

Dreh[35 Degree].{5 Cos[u],3 Sin[u]}// MatrixForm

el2Param[u_]:=Dreh[35 Degree].{5 Cos[u],3 Sin[u]};

ParametricPlot[el2Param[u], {u,0,2Pi},AspectRatio->Automatic];

d

el3Param[u_]:=Dreh[35 Degree].{5 Cos[u],3 Sin[u]}+{4,-3};

p1=ParametricPlot[el3Param[u], {u,0,2Pi},AspectRatio->Automatic];

p2=ParametricPlot[t {5,2}, {t,-2,2},AspectRatio->Automatic];

ArcTan[2/5]//N

φ0=-ArcTan[2/5]

el4Param[u_]:=Dreh[φ0].el3Param[u];
el5Param[u_]:={el4Param[u][[1]],-el4Param[u][[2]]};
el6Param[u_]:=Dreh[-φ0].el5Param[u];
p3=ParametricPlot[el6Param[u], {u,0,2Pi},AspectRatio->Automatic];

Show[p1,p2,p3];

3

Remove["Global`*"]

a

OM={3,4,2};  
r=2;
Φ[x_,y_,z_]:=x+y+2z+6;
OL={10,12,15}; 
Ku[x_,y_,z_]:=({x,y,z}-OM).({x,y,z}-OM)-r^2;
Ku[{x_,y_,z_}]:=Ku[x,y,z];
Ku[x,y,z]

Ku[x,y,z]//Expand

OS=OL;
a=OM-OS;

Gesucht ist noch ein Punkt P0 auf der Kugeloberfläche, welcher Tangentialpunkt von S aus gesehen ist. Für ihn gelten die folgenden Gleichungen, wenn man annimmt, dass P0 dieselbe z-Koordiante haben soll wie M:

{z==OM[[3]], OP[x_,y_,z_]:={x,y,z};OP[x,y,z], Ku[OP[x,y,z]]==0}

(OP[x,y,z]-OM).(OP[x,y,z]-OS)==0

Expand[(OP[x,y,z]-OM).(OP[x,y,z]-OS)]==0

Solve[{z==OM[[3]], Ku[x,y,z]==0,(OP[x,y,z]-OM).(OP[x,y,z]-OS)==0},{x,y,z}]

Wenn man mit einer etwas grösseren z-Koordinate probiert, so werden die Zahlen etwas einfacher:

solv=Solve[{z==3, Ku[x,y,z]==0,(OP[x,y,z]-OM).(OP[x,y,z]-OS)==0},{x,y,z}]

N[%]

OP0=OP[x,y,z]/.solv[[2]]

N[%]

Ke[x_,y_,z_]:= (a.(OP0-OS))^2 (OP[x,y,z]-OS).(OP[x,y,z]-OS)- (a.(OP[x,y,z]-OS))^2 (OP0-OS).(OP0-OS);
Ke[x,y,z]

Ke[x,y,z]//N//Expand

Schatten1[y_,z_]:=Ke[0,y,z];
Schatten1[y,z]//N//Simplify

Schatten1[y,z]//Simplify

<< Graphics`ImplicitPlot`

ImplicitPlot[Schatten1[y,z] == 0, {y, -6,5}];

b

Plot der Risse: z=0

solv3=Solve[{Ke[x,y,z]==0,Φ[x,y,z]==0},{x,y}]//Flatten

par3[z_]:={x,y}/.solv3;
par3[z]

ParametricPlot[par3[z],{z,-5,-1.8}];

Plot der Risse: y=0

solv2=Solve[{Ke[x,y,z]==0,Φ[x,y,z]==0},{x,z}]//Flatten

par2[y_]:={x,z}/.solv2;
par2[y]

ParametricPlot[par2[y],{y,-5,3}];

Plot der Risse: x=0

solv1=Solve[{Ke[x,y,z]==0,Φ[x,y,z]==0},{y,z}]//Flatten

par1[x_]:={y,z}/.solv1;
par1[x]

ParametricPlot[par1[x],{x,-3,3}];