Lösungen

1

a

pi1[n_]:= 4 Sum[((-1)^k)/(2 k - 1),{k,1,n}]; 
Table[{n," ",N[pi1[n],10]},{n,1,30}]//TableForm

Schwache Konvergenz

b

pi2[n_]:= Abs[Sqrt[Abs[Sqrt[(90 Sum[1/(k^4),{k,1,n}])]]]]; 
Table[{n," ",N[pi2[n],10]},{n,1,45}]//TableForm

Konvergenz etwas besser

c  Genauigkeit in Abhängigkeit der Anzahl Reihenglieder empirisch

{{"n","s(n)"},{1,1},{2,2},{3,5},{4,7},{5,15},{6,45}}//TableForm

Kommentar: Ein empirisches Resultat wie dieses ist nicht verlässlich. Grund ist die Nichtberücksichtigung der Maschinenpräzision. Bei dem hier verwendeten Programm lässt sich die numerische Präszision voreinstellen. Im hier beobachteten Bereich ist

d  Manipulation der Gehauigkeit

?MachinePrecision

$MachinePrecision

A typical value of $MachinePrecision is 53  (Subscript[log, 10]) 2 or approximately 16.

?*Precision

SetPrecision[pi2,40]

pi2[n_]:= Abs[Sqrt[Abs[Sqrt[(90 Sum[1/(k^4),{k,1,n}])]]]]; 
Table[{n," ",N[pi2[n],10]},{n,1,45}]//TableForm

Diese Manipulation hat hier keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

2

(10 Glieder berechnet)

Remove["Global`*"]
<<Calculus`FourierTransform`;

fa0[t_]:=1;
fb0[t_]:=fa0[t 2 Pi];
fc0[t_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb0[t], t, 10]];
fd0[tt_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb0[t], t, 10]/.t->tt/(2 Pi)];
pa=Plot[Evaluate[fa0[t]],{t,-Pi,Pi},AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->Identity];
pd=Plot[Evaluate[fd0[tt]],{tt,-Pi,Pi},AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->Identity];
Show[pa,pd,DisplayFunction->$DisplayFunction];
fd0[u]

fa1[t_]:=t^1;
fb1[t_]:=fa1[t 2 Pi];
fc1[t_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb1[t], t, 10]];
fd1[tt_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb1[t], t, 10]/.t->tt/(2 Pi)];
pa=Plot[Evaluate[fa1[t]],{t,-Pi,Pi},AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->Identity];
pd=Plot[Evaluate[fd1[tt]],{tt,-Pi,Pi},AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->Identity];
Show[pa,pd,DisplayFunction->$DisplayFunction];
fd1[u]//N

fa2[t_]:=t^2;
fb2[t_]:=fa2[t 2 Pi];
fc2[t_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb2[t], t, 10]];
fd2[tt_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb2[t], t, 10]/.t->tt/(2 Pi)];
pa=Plot[Evaluate[fa2[t]],{t,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
pd=Plot[Evaluate[fd2[tt]],{tt,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
Show[pa,pd,DisplayFunction->$DisplayFunction];
fd2[u]//N

fa3[t_]:=t^3;
fb3[t_]:=fa3[t 2 Pi];
fc3[t_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb3[t], t, 10]];
fd3[tt_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb3[t], t, 10]/.t->tt/(2 Pi)];
pa=Plot[Evaluate[fa3[t]],{t,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
pd=Plot[Evaluate[fd3[tt]],{tt,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
Show[pa,pd,DisplayFunction->$DisplayFunction];
fd3[u]//N

fa4[t_]:=t^4;
fb4[t_]:=fa4[t 2 Pi];
fc4[t_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb4[t], t, 10]];
fd4[tt_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb4[t], t, 10]/.t->tt/(2 Pi)];
pa=Plot[Evaluate[fa4[t]],{t,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
pd=Plot[Evaluate[fd4[tt]],{tt,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
Show[pa,pd,DisplayFunction->$DisplayFunction];
fd4[u]//N

fa5[t_]:=t^5;
fb5[t_]:=fa5[t 2 Pi];
fc5[t_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb5[t], t, 10]];
fd5[tt_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb5[t], t, 10]/.t->tt/(2 Pi)];
pa=Plot[Evaluate[fa5[t]],{t,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
pd=Plot[Evaluate[fd5[tt]],{tt,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
Show[pa,pd,DisplayFunction->$DisplayFunction];
fd5[u]//N

fa6[t_]:=1+t+t^2+t^3+t^4+t^5;
fb6[t_]:=fa6[t 2 Pi];
fc6[t_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb6[t], t, 10]];
fd6[tt_]:=Evaluate[FourierTrigSeries[fb6[t], t, 10]/.t->tt/(2 Pi)];
pa=Plot[Evaluate[fa6[t]],{t,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
pd=Plot[Evaluate[fd6[tt]],{tt,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];
Show[pa,pd,DisplayFunction->$DisplayFunction];
fd6[u]//N

Plot[Evaluate[fd0[tt]+fd1[tt]+fd2[tt]+fd3[tt]+fd4[tt]+fd5[tt]],{tt,-Pi,Pi}];

(fd0[tt]+fd1[tt]+fd2[tt]+fd3[tt]+fd4[tt]+fd5[tt])//N

3

a

(10 Glieder berechnet)

Remove["Global`*"]

f[t_]:=E^(Sin[t]+Cos[3 t]);
a[0]=1/Pi NIntegrate[f[t],{t,-Pi,Pi}]

a[k_]:=1/Pi NIntegrate[Evaluate[f[t]Cos[k t]],{t,-Pi,Pi}];
a[3]

b[k_]:=1/Pi NIntegrate[Evaluate[f[t]Sin[k t]],{t,0,2Pi}];
b[3]

Table[{a[k],b[k]},{k,1,10}]

g[t_]= a[0]/2+Sum[Evaluate[a[k] Cos[k t]+b[k] Sin[k t]],{k,1,10}];
g[t]

Plot[Evaluate[{f[t],g[t]}],{t,-Pi,Pi}];

b

?TrigTo*

TrigToExp[g[t]]

4

Selbststudium nach Skript.