Lösungen

1

a

Daten

a = 78.42;  Δa = 0.01;
b = 85.84;  Δb = 0.01;
γ = 0.6285;  Δγ = 
      0.0015;
c[a_, b_, γ_] := 
      Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[γ]]

cc = c[a, b, γ]

Δc = (Abs[
                D[c[a1, b1, γ1], a1]] Δa  + 
            Abs[D[c[a1, b1, γ1], b1]] Δb  +   Abs[
                D[c[a1, 
                    b1, γ1], γ1]] Δγ) /. {a1 -> a, b1 -> b, γ1 -> γ}

Einzelteile

(Abs[D[c[a1, b1, γ1], a1]] Δa  + 
        Abs[D[c[a1, b1, γ1], b1]] Δb  +   Abs[
            D[c[a1, b1, γ1], γ1]] Δγ)

(Abs[
            D[c[a1, b1, γ1], 
              a1]] Δa ) /. {a1 -> a, 
        b1 -> b, γ1 -> γ}

(Abs[
            D[c[a1, b1, γ1], 
              b1]] Δb ) /. {a1 -> a, 
        b1 -> b, γ1 -> γ}

( 
        Abs[D[c[a1, 
                b1, γ1], γ1]] Δγ) /. {a1 -> a, b1 -> b, γ1 -> γ}

Der Hauptteil des Fehlers kommt von γ !

b

α[a_, b_, c_] := 
      ArcCos[(b^2 + c^2 - a^2)/(2 b c)]

α[a, b, cc]

α[a, b, cc]/Degree

Δα = (Abs[
                D[α[a1, b, cc], a1]] Δa  + 
            Abs[D[α[a, b1, cc], b1]] Δb  +   Abs[
                D[α[a, b, c1], 
                  c1]] Δc) /. {a1 -> a, b1 -> b, 
          c1 -> cc}

Δα/Degree

{Abs[D[α[a1, b, cc], a1]] Δa, 
        Abs[D[α[a, b1, cc], b1]] Δb , 
        Abs[D[α[a, b, c1], c1]] Δc} /. {a1 -> a, 
        b1 -> b, c1 -> cc}

2.

Remove["Global`*"]

points = {{0, 0.497}, {1, 0.580}, {2, 0.839}, {3, 0.933}, {4, 
            1.044}, {5, 1.141}, {6, 1.151}, {7, 1.313}, {8, 1.404}, {9, 
            1.409}, {10, 1.422}};

a

f1 = FindFit[points, a + b x, {a, b}, x]

fg1[x_] := a + b x /. f1;    fg1[x]

plotpoints = 
        ListPlot[points, PlotStyle -> PointSize[0.02]];

pl1 = Plot[fg1[x], {x, 0, 12}];

s1 = Show[pl1, plotpoints];

b

trp1 = Transpose[points]; trp1 // MatrixForm

xListe1 = trp1[[1]]

yListe1 = trp1[[2]]

<< Statistics`MultiDescriptiveStatistics`

Correlation[xListe1, yListe1]

Covariance[xListe1, yListe1]

c

f2 = FindFit[points, a + b x +  c x^2, {a, b, c}, x]

fg2[x_] := a + b x  +  c x^2 /. f2;    fg2[x]

pl2 = Plot[fg2[x], {x, 0, 12}];

s2 = Show[pl1, pl2, plotpoints];

d

Show[s1, s2];

3

a

Monte Carlo: Experimentelle Bestimmung der relativen Häufigkeit als Wahrscheinlichkeit. Verwendung der Wahrscheinlichkeit als reale Messgrösse.

b

Hier Monte Carlo.  1 m entspricht 1000 m = 1 km.

Flaeche  =  88427/100000 km^2  // N

4

Remove["Global`*"]

<< Statistics`DescriptiveStatistics`

DatenSatz = {5.6, 4.5, 5.3, 4.7, 4.5, 5.6, 4.7, 5.5, 4.8}

a

Mean[DatenSatz]

StandardDeviation[DatenSatz]

locRep = LocationReport[DatenSatz]

dispRep = DispersionReport[DatenSatz]

b

Der Mittelwert der Grundgesamtheit müsste also mit μ = 5.02222... und die Standardabweichung der Grundgesamtheit mit σ =  0.47111... eingesetzt werden.

μ = Mean /. locRep

σ = StandardDeviation /. dispRep

c

f[X_] := Cos[X - X^2]/(1 - X^2) + 1/X;

f[X]

f[μ]

D[f[X], X]

Abs[
          D[f[X], X]] Abs[ΔX]  /.  {X -> μ,  ΔX -> σ}

μY +/- σY = 0.190111 +/- 0.154753

Fehler fast so gross wie der Wert!

5

Remove["Global`*"]

μ = 12.54;  σ = 1.96;  Δx = 
      20.4 - μ

P (X ausserhalb von μ  -  Δx)  ≤  σ^2/(Δx^2)

Die Wahrscheinlichkeit dieser Situation ist kleiner etwa 6.3 %. Vielleicht hat jemand 20.4 statt 10.4 geschrieben. Die Unmöglichkeit des Werts müsste man aber praktisch beurteilen.

6

Ablesen :
 μ          == > ca. 490
 60 %   == > ca. [430, 540]
 80 %   == > ca. [400, 580]

7

Remove["Global`*"]

M = {189, 196, 156, 173, 155, 179, 195, 186, 181, 168, 193, 158, 172, 
        174, 157, 209, 165, 203, 143, 153, 203, 183, 153, 186, 154, 192, 214, 
        157, 217, 156, 158, 182, 179, 206, 178, 173, 151, 177, 169, 177};  
    Sort[M]

a

μ = Mean[M]

N[%]

σ = StandardDeviation[M]

N[%]

b

<< Statistics`DescriptiveStatistics`;

    << Statistics`DataManipulation`;

    << Graphics`Graphics`;

{Min[M], Max[M]}

BarChart[M];

r = Table[k, {k, Min[M] - 2, Max[M] + 4, 8}]

r1 = Table[k - 4, {k, Min[M] - 2, Max[M] + 12, 8}]

Mr = RangeCounts[M, r]

BarChart[Mr, BarLabels -> r1];

Mr0Rel = Mr/Apply[Plus, Mr]

pl1 = BarChart[Mr0Rel, BarLabels -> r1];

c

<< Statistics`NormalDistribution`

?NormalDistribution

PDF[NormalDistribution[μ, σ], x]

f[x_] := PDF[NormalDistribution[μ, σ], x];  f[x]

pl2 = 
        Plot[PDF[NormalDistribution[μ, σ], x], {x, 130, 
            230}];

pl2 = 
        Plot[ 1.1  PDF[NormalDistribution[6, 2.5], x], {x, 0, 
            14}];

Show[pl2, pl1];

Aus subjektiver Sicht scheint es ein Grenzfall zu sein.  Nun sind mathematische Methoden gefragt, um die Wahrscheinlichkeit eines solchen Grenzfalls unter der Voraussetzung der Normalverteilung zu untersuchen.