Lösungen/Solutions/E1S2AnUe/Ex3

L=Lektion/Leçon-- Sprechstunde/heures de consultation
W=Work/Arbeit/Travail
A  =Anhang/  Annexe / Appendice

Hinweis: Zur Konvergenzentscheidung werden hier auch noch gleich die Berechnungen druchgeführt.

Ueb/Ex 1      W

f[x_, k_] := 
        Sum[Sin[n x]/n^k, {n, 1, Infinity}];
f[x, k]

f[0.5, 2]

N[%] // Chop

Options[ListPlot]

ListPlot[Table[Chop[N[f[x, 2]]], {x, 0, 2  Pi, 0.2}], 
        PlotJoined -> True];

ACHTUNG: Der Massstab auf der x-Achse entspricht der anzahl berechneter Punkte!

Konvergente Majorante für Reihe der Beträge für k>1 (-> glm. u. abs. Konvergenz in jedem abgeschlossenen Intervall):

Sum[1/(n^k), {n, 1, Infinity}]

Zeta[1]

Zeta[0.5]

Plot[Zeta[x], {x, -2, 3}];

Ueb/Ex 2      W

f2[x_] := 
        Sum[Sin[n x]/n, {n, 1, Infinity}];
f2[x]

ListPlot[Table[Chop[N[f2[x]]], {x, 0, 2  Pi + 0.2, 0.2}], 
        PlotJoined -> True];

f2[0]

f2[1]

f2[1] // N

f2[1] // N // Chop

f2[Pi/2]

f2[Pi/2] // N

Ueb/Ex 3      W

?Table

Table[Sum[Sin[n  1], {n, 0, m}], {m, 1, 2000, 50}] // N

Keine Konvergenz sichtbar!

Ueb/Ex 4      W

Potenzreihen!

a

Sum[x^n/Sqrt[n], {n, 1, Infinity}]

r = Limit[Sqrt[n + 1]/Sqrt[n], n -> Infinity]

b

Sum[(-1)^n  x^n/(n^2), {n, 1, Infinity}]

r = Limit[(n + 1)^2/(n^2), n -> Infinity]

c

Sum[(x^n)/(2^n), {n, 1, Infinity}]

r = Limit[((n + 1)^2)/(n^2), n -> Infinity]

d

Sum[(x^n)/(2^n + 1), {n, 1, Infinity}]

r = 
      Limit[(2^(n + 1) + 1)/(2^n  + 1), 
        n -> Infinity]

e

Sum[(x^n)/Sqrt[n!], {n, 1, Infinity}]

r = 
      Limit[Sqrt[(n + 1)!]/Sqrt[n!], 
        n -> Infinity]

r = Limit[Sqrt[n + 1], n -> Infinity]