MP06 Bau1 - 
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1 Differenzieren und integrieren

a Resultat so kurz wie möglich halten

f[x_]:=x^2+ 0.5 Sin[x];
f[x]

f'[x]

f'[x]/.x->1

ArcTan[f'[x]/.x->1]

ArcTan[f'[x]/.x->1]/Degree

f''[x]/.x->1

b Resultat so kurz wie möglich halten

f[x_]:=(((x^(3/4)-3)^3)^(1/4))^5

f[x]

D[f[x],x]//Simplify

D[f[x],x]//Expand

c Resultat so kurz wie möglich halten

f[x_]:= 4 x^2 Sin[3x^2-2]

f[x]

D[f[x],x]//Simplify

D[f[x],x]//Expand

d Resultat so kurz wie möglich halten

f[x_]:= Log[x/(1-x)] (x/(1-x))

f[x]

D[f[x],x]//Simplify

D[f[x],x]//Expand

e Resultat so kurz wie möglich halten

f[x_]:= 4 E^(-x) Cos[2-E^x]

f[x]

D[f[x],x]//Simplify

D[f[x],x]//Expand

f Resultat so kurz wie möglich halten

Remove[a]

f[x_]:= x^2+a Sin[x]+2/x

Integrate[f[x],{x,1,E^2}]

Integrate[f[x],{x,1,E^2}]//Expand

N[%]//Expand

2 Kurven und Flächen

Gegeben sei die Kurvenschar y=x^a auf I=[0,1]

a Plot

Plot[{x^5,x^(1/5)},{x,0,1}];

b y=x^(a) soll die eingeschlossenen Fläche halbieren. Berechne a

r1=Evaluate[Integrate[x^5-x^(a),{x,0,1}]==Integrate[x^(a)-x^(1/5),{x,0,1}]][[1]][[2]];
r2=Evaluate[Integrate[x^5-x^(a),{x,0,1}]==Integrate[x^(a)-x^(1/5),{x,0,1}]][[2]][[2]];
h=(r1==r2)

Solve[h,{a}]

r1=Evaluate[Integrate[x^5-x^(a),{x,0,1}]==Integrate[x^(a)-x^(1/5),{x,0,1}]][[1]][[2]];
r2=Evaluate[ Integrate[x^5-x^(a),{x,0,1}]==Integrate[x^(a)-x^(1/5),{x,0,1}]][[2]][[2]];
h=(r1==3 r2)

Solve[h,{a}]

r1=Evaluate[Integrate[x^5-x^(a),{x,0,1}]==Integrate[x^(a)-x^(1/5),{x,0,1}]][[1]][[2]];
r2=Evaluate[ Integrate[x^5-x^(a),{x,0,1}]==Integrate[x^(a)-x^(1/5),{x,0,1}]][[2]][[2]];
h=(r1==(Sqrt[5]+1)/2 r2)

solv1=Solve[h,{a}]//Flatten

N[%]

r3=Evaluate[Integrate[x^5-x^(a),{x,0,1}]==Integrate[x^(a)-x^(1/5),{x,0,1}]][[1]][[2]];
r4=Evaluate[ Integrate[x^5-x^(a),{x,0,1}]==Integrate[x^(a)-x^(1/5),{x,0,1}]][[2]][[2]];
h=(r3==(Sqrt[5]-1)/2 r2)

N[%]

solv2=Solve[h,{a}]//Flatten

N[%]

Plot[{x^5,x^(1/5),x^1},{x,0,1}];

Plot[{x^5,x^(1/5),x^(1/2)},{x,0,1}];

Plot Goldener Schnitt

Plot[Evaluate[{x^5,x^(1/5),x^(a)/.solv1}],{x,0,1},AspectRatio->Automatic];

Plot[Evaluate[{x^5,x^(1/5),x^(a)/.solv2}],{x,0,1},AspectRatio->Automatic];

3 Rotationskörper, Parabel

Funktion durch Parabel angenähert. Gleiche Ableitung bei -1 und Werte bei -1 und 1, Winkelabweichung bei 1?

f[x_]:=(x^2-1) E^(-x);
p[x_,a_,b_,c_]:=a x^2+b x + c

f'[x]/.x->-1

solv=Solve[Evaluate[{p[-1,a,b,c]==0, p[1,a,b,c]==0, (D[p[x,a,b,c],x]==f'[x]/.x->-1)}]]//Flatten

%//N

p[x_]:=a x^2+b x + c/.solv; p[x]

p'[x]/.x->1

f'[x]/.x->1

ArcTan[2 E]-ArcTan[2/ E] //N

(ArcTan[2 E]-ArcTan[2/ E]) /Degree//N

a Plot

Plot[{f[x],p[x]},{x,-1,1}];

Flächenverhältnis

Integrate[(x^2-1) E^(-x),x]

Integrate[(x^2-1) E^(-x),{x,-1,1}]

%//N

Integrate[p[x],x]

Integrate[p[x],{x,-1,1}]

%//N

int=Integrate[(f[x]-p[x]),{x,-1,1}]/Integrate[(p[x]),{x,-1,1}]

int//N

Integrate[(f[x]),{x,-1,1}]/Integrate[(p[x]),{x,-1,1}]

%//N

1/%//N

Wendepunkt

Evaluate[f''[x]]/.x->0

Solve[Evaluate[f''[x]==0],{x}]

Solve[Evaluate[f''[x]==0],{x}]//N

Rotationsvolunen bei Parabe, Vergleich mit Zylinder gleicher Länge, r = ? (Hat Volumen in Zylinder mit r=2 Platz?)

Pi Integrate[p[x]^2,{x,-1,1}]

%//N

Sqrt[Integrate[p[x]^2,{x,-1,1}]/2]

%//N

Plot[{f[x],p[x],-1.9851,1.9851},{x,-1,1}];

Länge der Bögen:

{f[x],p[x]}

l1=NIntegrate[Evaluate[Sqrt[1+D[p[x],x]^2]],{x,-1,1}]

l2=NIntegrate[Evaluate[Sqrt[1+D[f[x],x]^2]],{x,-1,1}]

l3=2

l1/l2

l1/l3

l2/l3

3 Rotationskörper, Parabel mit Punkteverwechslung

Funktion durch Parabel angenähert. Gleiche Ableitung bei -1 und Werte bei -1 und 1, Winkelabweichung bei 1?

f[x_]:=(x^2-1) E^(-x);
p[x_,a_,b_,c_]:=a x^2+b x + c

f'[x]/.x->1

solv=Solve[Evaluate[{p[-1,a,b,c]==0, p[1,a,b,c]==0, (D[p[x,a,b,c],x]==f'[x]/.x->1)}]]//Flatten

%//N

p[x_]:=a x^2+b x + c/.solv; p[x]

p'[x]/.x->1

f'[x]/.x->1

ArcTan[2 E]-ArcTan[2/ E] //N

(ArcTan[2 E]-ArcTan[2/ E]) /Degree//N

a Plot

Plot[{f[x],p[x]},{x,-1,1}];

Flächenverhältnis

Integrate[(x^2-1) E^(-x),x]

Integrate[(x^2-1) E^(-x),{x,-1,1}]

%//N

Integrate[p[x],t]

Integrate[p[x],{x,-1,1}]

%//N

int=Integrate[(f[x]-p[x]),{x,-1,1}]/Integrate[(p[x]),{x,-1,1}]

int//N

Integrate[(f[x]),{x,-1,1}]/Integrate[(p[x]),{x,-1,1}]

%//N

1/%//N

Wendepunkt

Evaluate[f''[x]]/.x->0

Solve[Evaluate[f''[x]==0],{x}]

Solve[Evaluate[f''[x]==0],{x}]//N

Rotationsvolunen bei Parabe, Vergleich mit Zylinder gleicher Länge, r = ? (Hat Volumen in Zylinder mit r=2 Platz?)

Pi Integrate[p[x]^2,{x,-1,1}]

%//N

Sqrt[Integrate[p[x]^2,{x,-1,1}]/2]

%//N

Plot[{f[x],p[x],-1.9851,1.9851},{x,-1,1}];

Länge der Bögen:

{f[x],p[x]}

l1=NIntegrate[Evaluate[Sqrt[1+D[p[x],x]^2]],{x,-1,1}]

l2=NIntegrate[Evaluate[Sqrt[1+D[f[x],x]^2]],{x,-1,1}]

l3=2

l1/l2

l1/l3

l2/l3

4 Annäherung Hügel durch Potenzreihe

Funktion durch Parabel angenähert. Gleiche Ableitung bei -1 und Werte bei -1 und 1, Winkelabweichung bei 1?

Test

Remove["Global`*"]

q[x_,a_,b_,c_,d_,e_]:=(a x^2+b x + c)/(x^2+d x+e)

q[x,a,b,c,d,e]//TeXForm

sys={
q[-2,a,b,c,d,e]==0,
q[2,a,b,c,d,e]==0, 
q[0,a,b,c,d,e]==2,
(D[q[x,a,b,c,d,e],x]/.x->1)==-1,
(D[q[x,a,b,c,d,e],x]/.x->-1)==1}

solv=Solve[Evaluate[sys,{a,b,c,d,e}]]

q[x_]:=(a x^2+b x + c)/(x^2+d x+e)/.solv ; q[x]

Symmetrie

Remove["Global`*"]

q[x_,a_,c_,e_]:=(a x^2+ c)/(x^2+e)

sys={
q[2,a,c,e]==0,
q[0,a,c,e]==2,
(D[q[x,a,c,e],x]/.x->1)==-1}

solv=Solve[Evaluate[sys,{a,c,e}]]//Flatten

q[x_]:=(a x^2+ c)/(x^2+e)/.solv ; q[x]

q[x]//Simplify

Konvergenzbereich: Partialbruchzerlegung, Vergleich mit geometrischer Reihe!   ==> r = 1

q1[x_]:= Evaluate[q[x]//Apart]; q1[x]

Table[D[q1[x],{x,k}],{k,0,10}]//Together

Table[D[q1[x],{x,k}],{k,0,10}]/.x->1.

q1[x_]:=Evaluate[q[x]]

Plot[q1[x],{x,-2,2}];

Plot[q1[x],{x,-8,8}];

Potenzreihe, Abweichung

q2[x_]:=Normal[Series[q1[z],{z,0,10}]]/.z->x; q2[x]

q2[x_]:=Evaluate[Normal[Series[q1[x],{x,0,10}]]]; q2[x]

{q1[x],q2[x]}

{q1[5],q2[5]}//N

Plot[{q1[x],q2[x]},{x,-1,1}];

q2[x_]:=Evaluate[Normal[Series[q1[x],{x,0,20}]]]; Plot[{q1[x],q2[x]},{x,-1,1}];

q2[x_]:=Evaluate[Normal[Series[q1[x],{x,0,150}]]]; Plot[{q1[x],q2[x]},{x,-1,1}];

q2[x_]:=Evaluate[Normal[Series[q1[x],{x,0,10}]]]; d1=q2[x]/.x->0.5

d2=q[x]/.x->0.5

d2-d1

q[x]-q2[x]/.x->0.9

5 Reihe, Maximum Geometrie

a

Normal[Series[ArcTan[x],{x,0,10}]]

4(Normal[Series[ArcTan[x],{x,0,10}]]/.x->1)//N

4(Normal[Series[ArcTan[x],{x,0,2000}]]/.x->1)//N

b

10m : 2m

Breite 10 m

Höhe: x : 2 = (x+10) : h,   l = f[x]

Solve[ x / 2 == (x+10) / h,{h}]

f[x_] := Sqrt[(((2 (10 + x))/x))^2 + (x + 10)^2];  
    f[x]

Plot[f[x],{x,0,20}];

f'[x]

Solve[Evaluate[f'[x]==0],{x}]

Solve[Evaluate[f'[x]==0],{x}]//N

(((-5))^(1/3)) // N

(((-1))^(2/3)) // N

((((-1))^(2/3)))^2 // N

((((-1))^(2/3)))^3 // N

c

tan1=49/10

weite=2/tan1 -0.7