Lösungen

1

Remove["Global`*"]

f[x_] := (x + 1) Log[(x + 1)/2] - 1

a

i

Plot[f[x], {x, -1, 10}];

ii

FindRoot[f[x] == 0, {x, 2}]

iii

f'[x]

u = f'[x] /. x -> 0

N[%]

ArcTan[u]

N[%]

ArcTan[1 - Log[2]] 360/(2  Pi)

N[%]

iv

Solve[f'[x] == 0, {x}]

N[%]

b

Remove["Global`*"]

h[t_] := 
      Integrate[(4 x^3 - 2 x^2  + t x - 5), {x, -5, t}] // 
        Evaluate

h[t]

i

Plot[h[t], {t, -7, 10}];

ii

Solve[h[t] == 0, {t}]

Solve[h[t] == 0, {t}] // N

iii

h'[t]

u = h'[t] /. t -> 0

N[%]

ArcTan[u]

N[%]

ArcTan[u] 360/(2  Pi)

N[%]

iv

Solve[h'[t] == 0, {t}]

N[%]

2

Remove["Global`*"]

f[x_, y_, k_] := 
        E^k  Cos[x/Pi] + Cos[y/Pi];
f[x, y, k]

f[x, y, 0]

a

Plot3D[f[x, y, 0], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}];

b

V[k_] := 
        Integrate[
          f[x, y, k], {x, -1, 1}, {y, -1, 
            1}];
V[k]

N[%]

%% // Expand

N[%]

c

Solve[V[k] == 1, {k}]

N[%]

Keine reelle Lösung

d

g[x_] := 2  x - 1/2

f[x, g[x], k]

D[f[x, 2  x - 1/2, k], x]

D[f[x, 2  x - 1/2, k], x]/E^k

N[%]

Solve[Evaluate[D[f[x, 2  x - 1/2, k], x]/E^k == 0], {x}] // 
          N // Chop;

Lösung allgemein sehr lange, nicht übersichtlich

Lösung numerisch möglich für fixes k:

Plot[
        Evaluate[D[f[x, 2  x - 1/2, 0], x]], {x, -1, 1}];

solv = 
      FindRoot[Evaluate[D[f[x, 2  x - 1/2, 0], x]], {x, 0.1}]

x1 = x /. solv

g[x1]

f[x1, g[x1], 1]

e

Remove["Global`*"]

h[x_, y_] := 
        Cos[(x + y)^2 + (x - y)^2];
h[x, y] // ExpandAll

Plot3D[h[x, y], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}];

ParametricPlot3D[{r Cos[φ], r Sin[φ], 
          Cos[2  (r^2)]}, {r, 0, Sqrt[Pi/4]}, {φ, 0, 
          2 Pi}];

rm = Sqrt[Pi/4]

Cos[2  (r^2)] /. r -> rm

rm // N

V1 = 
      Integrate[
        Integrate[
          h[x, y], {y, -Sqrt[rm^2 - x^2], 
            Sqrt[rm^2 - x^2]}], {x, -rm, rm}]

NIntegrate[
      NIntegrate[
        h[x, y], {y, -Sqrt[rm^2 - x^2], Sqrt[rm^2 - x^2]}], {x, -rm, 
        rm}]

NIntegrate[
      Integrate[
        h[x, y], {y, -Sqrt[rm^2 - x^2], Sqrt[rm^2 - x^2]}], {x, -rm, 
        rm}]

3

Remove["Global`*"]

A1 = {0, 0, 0};  A2 = {0, 0, 1/2}; OO = A1;
B1 = {2, 0, 0};  B2 = {2, 0, 2/3};
C1 = {3, 4, 0};  C2 = {3, 4, 1};
D1 = {0, 3, 0}; D2[z_] := {0, 3, z};
D2[z]

b

Φ[λ_, μ_] := (A2 - 
              OO) + λ (B2 - A2) + μ (C2 - 
                A2);
Φ[λ, μ]

gD[t_] := (D1 - OO) + 
          t (D2[1] - D1);
gD[t]

solv = 
      Solve[Φ[λ, μ] == gD[t], {t}] // 
        Flatten

N[%]

D2 = gD[t] /. solv

N[%]

a

Show[
        Graphics3D[
          Line[{A1, B1, C1, D1, A1, A2, B2, B1, C1, C2, B2, C2, D2, D1, D2, 
              A2}]], Boxed -> False];

c

Inhalt = 
      Norm[Cross[B2 - A2, C2 - A2]]/2 + 
        Norm[Cross[D2 - A2, C2 - A2]]/2

N[%]

d1

A3 = A2; 
B3 = {2, 0, 1/2};  C3 = {3, 4, 1/2}; D3 = {0, 3, 1/2};

Abs[Det[{B1 - A1, C1 - A1, A2 - A1}]]/2 + 
      Abs[Det[{B3 - A2, C3 - A2, C2 - A2}]]/6 + 
      Abs[Det[{B3 - A2, B2 - A2, C2 - A2}]]/
        6 + 

Abs[
          Det[{D1 - A1, C1 - A1, A2 - A1}]]/2 + 
      Abs[Det[{D3 - A2, C3 - A2, C2 - A2}]]/6 + 
      Abs[Det[{D3 - A2, D2 - A2, C2 - A2}]]/6

N[%]

d2

(Abs[Det[{B1 - A1, C1 - A1, A2 - A1}]] + 
Abs[
            Det[{C1 - B1, B2 - B1, A2 - B1}]] + 
Abs[
            Det[{A2 - C1, B2 - C1, 
                C2 - C1}]] + 

Abs[
            Det[{D1 - A1, C1 - A1, A2 - A1}]] + 
Abs[
            Det[{C1 - D1, D2 - D1, A2 - D1}]] + 
Abs[
            Det[{A2 - C1, D2 - C1, C2 - C1}]]
)/
      6

N[%]

4

Remove["Global`*"]

a1

X = Transpose[{{11, 3}, {-3, 11}}];
X // MatrixForm

mD = {{1, 0}, {0, -1}};
mD // MatrixForm

Sp = X . mD . Inverse[X];
Sp // MatrixForm

% // N // MatrixForm

a2

α = ArcTan[3/11];
α // N

α/Degree // N

Sp2 = {{Cos[2  α], 
            Sin[2  α]}, {Sin[
              2  α], -Cos[
                2  α]}};
Sp2 // N // MatrixForm

b

P1 = {6, -3};  P2 = {7, 2};

Q1 = Sp . P1

% // N

Q2 = Sp . P2

N[%]

c

Norm[Cross[{6, -3, 0}, {(237/65), (366/65), 0}]]/2

N[%]

d

Eigensystem[Sp]

% // N

Eigensystem[Sp2] // N

Richtungsvektoren der Gerade und senkrechte Gerade geben Eingenvektoren. Eigenwerte 1 und -1.

5

Remove["Global`*"]

A3 = {{1, 0, 0}, {1, -1, 0}, {1, -1, 1}}; 
    A3 // MatrixForm

B3 = {{-1, 1, -1}, {0, 1, -1}, {0, 0, -1}}; 
    B3 // MatrixForm

A4={{1,0,0,0},{1,-1,0,0},{1,-1,1,0},{1,-1,1,-1}}; A4//MatrixForm

B4={{-1,1,-1,1},{0,1,-1,1},{0,0,-1,1},{0,0,0,1}}; B4//MatrixForm

a

u1=A3.A3;u1//MatrixForm

v1=B3.B3; v1//MatrixForm

u1 == Transpose[v1]

o1 = A4 . A4; o1 // MatrixForm

q1 = B4 . B4; q1 // MatrixForm

o1 == Transpose[q1]

Vermutung: Ak.Ak = Transpose[Bk.Bk].

b

u2=u1.A3;u2//MatrixForm

v2=v1.B3; v2//MatrixForm

c2=A3.B3;c2//MatrixForm

u2 == Transpose[v2]

Gesetz nicht einfach offensichtlich.

c

A3.B3//MatrixForm

B3.A3//MatrixForm

Scheint z.B. gespiegelt am Mittelpunkt.

A3.A3.B3.B3//MatrixForm

B3 . B3 . A3 . A3 // MatrixForm

Scheint z.B.gespiegelt an Senkrechte auf Hauptdiagonale oder an Mittelpunkt.

A3.A3.A3.B3.B3.B3//MatrixForm

B3 . B3 . B3 . A3 . A3 . A3 // MatrixForm

Scheint z.B.gespiegelt an Mittelpunkt.

d

AI3=Inverse[A3]; AI3//MatrixForm

BI3=Inverse[B3]; BI3//MatrixForm

AI3.BI3//MatrixForm

BI3.AI3//MatrixForm

AI3 . BI3 == BI3 . AI3

AI3 . BI3 == Transpose[BI3 . AI3]

e

(X=BI3.A3.B3.A3.BI3)//MatrixForm

f

A3+B3//MatrixForm

Inverse[BI3 - AI3] // MatrixForm

Inverse[BI3-AI3].(A3+B3)//MatrixForm

N[%] // MatrixForm

6

Remove["Global`*"]

a

Plot[E^(2 x  +  2), {x, 0, 5}];

Steigt immer, kein logistisches Wachstum.

b

Plot[100 E^((-2 ArcTan[x - 5]/Pi) - 1), {x, 0, 10}, 
        AxesOrigin -> {0, 0}];

Fällt: So nicht geeignet für logistisches Wachstum. Nach Spiegelung und Achsenanpassung geeignet für logistisches Wachstum.

Spiegelung:

Plot[100 E^((2 ArcTan[x - 5]/Pi) - 1), {x, 0, 20}, 
        AxesOrigin -> {0, 0}];

c

Plot[100 E^(Sin[x/5] - 1), {x, 0, 10}, 
        AxesOrigin -> {0, 0}];

Plot[100 E^(Sin[x/5] - 1), {x, 0, 100}, 
        AxesOrigin -> {0, 0}];

Oszilliert. Nicht geeignet für logistisches Wachstum.