Lösungen

1. Teil

I / 1

Remove["Global`*"]

Vektoren

r0 = 1;     
schr[t_] := 
      r0 {Cos[t], Sin[t], t};
v[u_] := 
        Evaluate[D[schr[t], t] /. t -> u];
vn[u_] := Evaluate[v[u]/Norm[v[u]]];
a[t_] := r0 { Cos[t],  Sin[t], 0};
an[u_] := Evaluate[a[u]/Norm[a[u]]];
b[u_] := Evaluate[Cross[a[u], v[u]]];
bn[u_] := Evaluate[b[u]/Norm[b[u]]];
c[u_] := 
        Evaluate[D[a[t], t] /. t -> u];
cn[u_] := Evaluate[c[u]/Norm[c[u]]];

Austesten mit Beispielen

schr[Pi/2]

vn[Pi/2]

an[Pi/2]

bn[Pi/2]

cn[Pi/2]

Körper

r[t_, rr_] := rr r0 (1 - t/(2  Pi));  r[t, 1]

k1[u_, φ_, rr_] := 
        r[u, rr] (an[u] Cos[φ] + 
              bn[u] Sin[φ]);
k2[u_, φ_, rr_] := 
        r[u, rr] (an[u] Cos[φ] + 
              cn[u] Sin[φ]);
f1[u_, φ_, rr_] := 
        schr[u] + k1[u, φ, rr];
f2[u_, φ_, rr_] := 
        schr[u] + k2[u, φ, rr];
f3[u_, φ_, rr_] := {0, 0, u} + 
          k2[u, φ, rr];

a  Plots

p1 = 
        ParametricPlot3D[
          f1[u, φ, 1], {u, 0, 2  Pi}, {φ, 0, 
            2  Pi}];

p11 = 
        ParametricPlot3D[
          f1[u, φ, 1], {u, 0, 2  Pi}, {φ, 0, 2  Pi}, 
          ViewPoint -> {-1.499,  -2.428,  -1.154}];

p2 = 
        ParametricPlot3D[
          f2[u, φ, 1], {u, 0, 2  Pi}, {φ, 0, 
            2  Pi}];

p21 = 
        ParametricPlot3D[
          f2[u, φ, 1], {u, 0, 2  Pi}, {φ, 0, 2  Pi}, 
          ViewPoint -> {-1.499,  -2.428,  -1.154}];

p3 = 
        ParametricPlot3D[
          f3[u, φ, 1], {u, 0, 2  Pi}, {φ, 0, 
            2  Pi}];

p31 = 
        ParametricPlot3D[
          f3[u, φ, 1], {u, 0, 2  Pi}, {φ, 0, 2  Pi}, 
          ViewPoint -> {-1.499,  -2.428,  -1.154}];

b  Volumen

xf1[u_, φ_, 
          rr_] := f1[u, φ, 
            rr][[1]];
yf1[u_, φ_, 
          rr_] := f1[u, φ, 
            rr][[2]];
zf1[u_, φ_, 
          rr_] := f1[u, φ, 
            rr][[3]];
xf2[u_, φ_, 
          rr_] := f2[u, φ, 
            rr][[1]];
yf2[u_, φ_, 
          rr_] := f2[u, φ, 
            rr][[2]];
zf2[u_, φ_, 
          rr_] := f2[u, φ, 
            rr][[3]];
jac1[u_, φ_, 
          rr_] := 
{{D[xf1[u, φ, rr], u], 
            D[yf1[u, φ, rr], u], 
            D[zf1[u, φ, rr], u]}, 
{D[
              xf1[u, φ, rr], φ], 
            D[yf1[u, φ, rr], φ], 
            D[zf1[u, φ, rr], φ]}, 
{D[
              xf1[u, φ, rr], rr], D[yf1[u, φ, rr], rr], 
            D[zf1[u, φ, rr], rr]}};
jac2[u_, φ_, 
          rr_] := 
{{D[xf2[u, φ, rr], u], 
            D[yf2[u, φ, rr], u], 
            D[zf2[u, φ, rr], u]}, 
{D[
              xf2[u, φ, rr], φ], 
            D[yf2[u, φ, rr], φ], 
            D[zf2[u, φ, rr], φ]}, 
{D[
              xf2[u, φ, rr], rr], D[yf2[u, φ, rr], rr], 
            D[zf2[u, φ, rr], rr]}};

V1v[u1_, φ1_, rr1_] := 
        Evaluate[
          Det[jac1[u, φ, 
                rr] /. {u -> u1, φ -> φ1, 
                rr -> rr1}]];
V1 = 
      NIntegrate[
          V1v[u1, φ1, rr1], {u1, 0, 2  Pi}, {φ1, 0, 
            2  Pi}, {rr1, 0, 1}] // Abs

V2v[u1_, φ1_, rr1_] := 
        Evaluate[
          Det[jac2[u, φ, 
                rr] /. {u -> u1, φ -> φ1, 
                rr -> rr1}]];
V2 = 
      NIntegrate[
          V2v[u1, φ1, rr1], {u1, 0, 2  Pi}, {φ1, 0, 
            2  Pi}, {rr1, 0, 1}] // Abs

V3 = 1^2 Pi 2  Pi/3  // N

V1/V3

V2/V3

I / 2

Remove["Global`*"]

a

LaplaceTransform[Cos [2  t] + Cosh [3  t], t, s]

% // Together

% // ExpandAll // Together

% // Apart

b

LaplaceTransform[E^(t - 8) E^(-2 t + 3), t, s]

c

LaplaceTransform[E^(-t) (Cos[t] - 2), t, s]

% // Together

% // ExpandAll // Together

% // Apart

d

LaplaceTransform[(-t)^3 + DiracDelta[t], t, s]

% // Together

e

InverseLaplaceTransform[4  s/(2  s^2 - 1), s, t]

% // Expand

% // Simplify

Das ist ein Cosinus hyperbolicus. Test:

((E^(-(t/(Sqrt[2])))) + (E^((t/(Sqrt[2]))))  /. 
          t -> 10. ) == (2 Cosh[t/Sqrt[2]] /. 
          t -> 10. )

Table[((E^(-(t/(Sqrt[2])))) + (E^((t/(Sqrt[2]))))  /. t -> u // N) == (2 Cosh[t/Sqrt[2]] /. t -> u // 
            N), {u, 1, 10}]

f

InverseLaplaceTransform[s/(s^2 - 1), s, t]

% // Expand

% // Simplify

Das ist ein Cosinus hyperbolicus. Test:

(Cosh[10] // 
            N) == (((E^(-t))/2) + ((E^t)/2) /. t -> 10) // N

Table[(Cosh[u] // 
              N) == (((E^(-t))/2) + ((E^t)/2) /. t -> u) // N, {u, 1, 10}]

g

InverseLaplaceTransform[1 + 2/s - 2/s^2, s, t]

I / 3

Remove["Global`*"]

a

DSolve[y'[t] == -y[t] + DiracDelta[t] + a  Sin [t], y, 
      t]

DSolve[{y'[t] == -y[t] + DiracDelta[t] + a  Sin [t], 
        y[1] == 1}, y, t]

y3a[t_, a_] := 
        Evaluate[-(1/2) (E^(-t)) (2 - 
                2 E - a E Cos[1] + 
                a (E^t) Cos[t] + a E Sin[1] - 
                a (E^t) Sin[t] - 
                2 UnitStep[t])];
(y3a[t, a] /. {t -> u,  UnitStep[t] -> 1}) // 
      Simplify

y1[u_] := ((y3a[t, 1] /. t -> u) // Simplify);  
    y1[t] /.  UnitStep[t] -> 1

y1[t] /.  UnitStep[t] -> 1 // Expand

b

Plot[y1[u], {u, 0, 2}];

Plot[y1[u], {u, -1, 2}, PlotRange -> {0, 3}];

y1[1/25] // Simplify

y1[0.5]

y1[2]

y1[2] // N

c

s[aa_] := (y3a[t, a] /. {t -> 2, a -> aa}) // 
          Simplify;
s[aa]

Plot[s[aa], {aa, -2, 2}];

I / 4

Remove["Global`*"]

DSolve[y''[t] -  y'[t] - 2  y[t] == 1/2 Cosh[t], y, 
        t]  // Flatten

DSolve[{y''[t] -  y'[t] - 2  y[t] == 1/2 Cosh[t], 
          y[0] == 1, y'[0] == -1}, y, t]  // 
      Flatten

(1/72) (E^(-t)) (73 - 9 (E^(2 t)) + 
            8 (E^(3 t)) - 6 t) // ExpandAll

LaplaceTransform[y''[t] -  y'[t] - 2  y[t], t, s] == 
      LaplaceTransform[1/2 Cosh[t], t, s]

I / 5

Remove["Global`*"]

DSolve[{y'[t] +  y[t] - z'[t] - z[t] == 
          0, 
              y'[t] +  
            y[t] + z'[t] + z[t] == 
          E^(-t), 
              y[
            0] == 1, z[0] == 0}, {y[t], z[t]}, t]

v[
          t_] := {(1/2) (E^(-t)) (2 + 
                t), (((E^(-t)) t)/2)};
v[t]

% // Expand

ParametricPlot[v[t], {t, -0.5, 3}];

ParametricPlot[v[t], {t, -0.5, 3}, 
        PlotRange -> {-1, 0.4}];

v[2] // N

I / 6

Remove["Global`*"]

a

DSolve[{y'[t] ==  
          y[t]  E^(-t) + 
            E^(-2 
                  t), 
              y[
            0] == 0}, y, t]

yExakt[
        t_] := (E^(-t)) ((E^t) - 
            1)

yExakt[t] // Expand

b

Δt = 0.5;
yEu[0] = 0;
yEu[
          i_] := Δt (yEu[
                    i - 1] E^(-i Δt) + 
                E^(-2 i Δt)) + 
          yEu[i - 1];
Table[{i Δt, yEu[i]}, {i, 0, 4}] // 
      TableForm

yEuInerpol[E1  .75] = 1/2 (yEu[3] + yEu[4])

yExakt[1.75] // N

I / 7

Remove["Global`*"]

a

DSolve[{y''[t] - 3 y'[t] + 2 y[t] ==   1 + 
            a t, 
              y[
            0] == 0}, y, t]

y[a_, t_, C2_] := 
      (1/4) (2 + 3 a - 2 (E^t) - 3 a (E^t) + 
            2 a t - 4 (E^t) C2 + 
            4 (E^(2 t)) C2)

y[a, t, C2] // Expand

b  3 Variablen oder Parameter:  t,  a,  C2

a

DSolve[{y''[t] - 3 y'[t] + 2 y[t] ==   1 + 
            a t, 
              y[
            0] == 0, y'[0] == c2}, y, t]

y[a_, t_, C2_] := 
      (1/4) (2 + 3 a - 4 (E^t) - 4 a (E^t) - 
            4 c2 (E^t) + 2 (E^(2 t)) + 
            a (E^(2 t)) + 4 c2 (E^(2 t)) + 
            2 a t)

y[a, t, C2] // Expand

I / 8

Remove["Global`*"]

a

y'[x_] == - y[x]/Sqrt[a^2 - y[x]^2]

b   Bei (b) fehlt x.  (c) löst das Problem.

2. Teil

II / 1

Remove["Global`*"]

a

pCalamAus = 0.05;      ;   AnzKeinFunkCalam = 
      5000;
pCalamEin = 1 - pCalamAus;      ;  
    AnzFunkCalam = 95 000;
pTerror = 0.001;          ;  
    AnzTerror = 100;
pNichtTerror = 1 - 0.001;        ; 
    AnzKeinTerror = 99900;
total = 100000;

pAusfall = 
      pCalamAus *  pTerror +   pCalamEin *  pTerror  +  pCalamAus * pNichtTerror

pNichtAusfall = pCalamEin * pNichtTerror

pTerror  =  
      pCalamAus *  pTerror +   pCalamEin *  pTerror

AnzTerrorUndKeinAusfallFunk =  
      AnzKeinFunkCalam *AnzTerror/total

AnzKeinFunk = 
      AnzKeinFunkCalam + AnzTerror - AnzTerrorUndKeinAusfallFunk

pTerrorWennKeinFunk = 
      AnzTerror /AnzKeinFunk   // N

gegen = 1 - pTerrorWennKeinFunk

b

Bei einem Abschuss würde man mit der kleinen Wahrscheinlichkeit von 0.0196 100 Menschen retten und dafür 10 vernichten. Bei einem nichtabschuss würde man mit einer grossen Wahrscheinlichkeit von 0.98  jetzt 110 Menschen retten.
Bei einem Nichtabschuss sterben 110 Menschen mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0.02.

II / 2

a

Remove["Global`*"]

total = 128;    auto =  89;  velo  = total - auto

mitKinder = 62;  ohneKinder = total - mitKinder

autoMitKinder =  auto * mitKinder/total  // N

autoOhnetKinder =  auto - autoMitKinder  // N

veloMitKinder =  velo *  mitKinder/total  // N

veloOhneKinder =  velo  * ohneKinder/total  // N

nichtUrlaubBedAuto = autoOhnetKinder/ auto

b

Remove["Global`*"]

plaetzt = 7!

selbstsich = 3;  nut = 1;  gewoehnl = 7 - selbstsich - nut

(* 
      Die selbstsichernden und die gewähnlichen Muttern sind unter sich vertauschbar*) 
anzVerteilungen = 7!/(3! 3!)

anzRichtige = 1 * 3! * 3!

chance = anzRichtige/anzVerteilungen  // N

c1

Remove["Global`*"]

anzPers = 14;   auswahl1 = 5;   auswahl2 = 4;   auswahl3 = 
      3;
anzAuswahl4 = Binomial[anzPers,  auswahl1]

anzAuswahl4Verteil1 = Binomial[anzPers,  auswahl2] 4

anzAuswahl4Verteil3 = Binomial[anzPers,  auswahl3] 3

total1 = 
      anzAuswahl4 + anzAuswahl4Verteil1 + anzAuswahl4Verteil3

c2  Variante: Alle Boni verschieden

total2 = 
      anzAuswahl4 5! + anzAuswahl4Verteil1  5!/2! + 
        anzAuswahl4Verteil3 3!/(2*2!)

II / 3

Remove["Global`*"]

a

p = 3/10;   X == anzPumpQualitaetOK;  
    q = 1 - p;

    pXgleich[k_, n_] :=  
        Binomial[n, k] p^k  q^(n - k);

    pXkleinerGleich[k_, n_] := 
        Sum[pXgleich[j, n], {j, 0, k}];

    pXgroesserGleich[k_, n_] := 
        1 - pXkleinerGleich[k - 1, n];

    

    n = 28; k = 6;


    pXgleich[k, n] // N

pXkleinerGleich[n, 
        n]//N

b

ErwX =  n p //N

StdX = Sqrt[n p q] // N

II / 4

Remove["Global`*"]

a

t = Table[k!, {k, 1, 12}]

f0[k_] := Log[k!];

points = Table[{k, f0[k]}, {k, 1, 12}] // N

p1 = 
        ListPlot[points, PlotStyle -> PointSize[0.02]];

Punkte liegen nicht auf einer Geraden.

Fit[points, {1, x}, x]

f1[x_] := -3.6244843644409572` + 1.8596031085477305` x

p2 = Plot[f1[x], {x, 1, 12}];

Show[p1, p2];

b

Fit[points, {1, x, x^2}, x]

f2[x_] := -1.167 + 0.8067  x + 0.08107  (x^2)

p3 = 
        Plot[-1.1669375620976368` + 0.8063687646863081` x + 
            0.08101802645087866` (x^2), {x, 0, 12}];

p31 = Plot[f2[x], {x, 0, 12}];

Show[p31, p3];

Show[p1, p31, p2, p3];

Eine Parabel passt schon besser..

c

s1 = Sum[(f0[k] - f1[k])^2, {k, 1, 12}]

s2 = Sum[(f0[k] - f2[k])^2, {k, 1, 12}]

s2 ≤ s1/2

Sum[(f0[k] - f2[k])^2, {k, 1, 
        100}]

II / 5

pPunktUntenS = 1/2;
pLinieVonPunktFortsetzbar = (3! - 1)/3!  // N

pNiveau1Niveau2s = 
      pPunktUntenS * pLinieVonPunktFortsetzbar  // N

pNiveau1Niveau4s = 
      pPunktUntenS * pLinieVonPunktFortsetzbar^3  // N

II / 6

Remove["Global`*"];

<< Statistics`StatisticsPlots`;
<< Statistics`DescriptiveStatistics`;

a

M1 = {44.0, 50.5, 51.4, 48.9, 52.3, 55.4, 54.5, 57.3, 58.4, 63.3, 
          65.9, 66.6};
M2 = {44. , 47.5, 47.1, 52.2, 49.9, 50.6, 52.5, 58.3, 58.6, 59.1, 
          61.8, 64.3};

{Mean[M1], Mean[M2]}

{Median[M1], Median[M2]}

{StandardDeviation[M1], StandardDeviation[M2]}

b

BoxWhiskerPlot[Transpose[{M1, M2}]];

c1

points1=Table[{k 15, M1[[k]]}, {k, 1, 
          Length[M1]}]

p1 = 
        ListPlot[points1, PlotStyle -> PointSize[0.02]];

Fit[points1, {1, x}, x] // Expand

f1[x_] := 
      43.615151515151496` + 
        0.1240326340326341` x

p2 = Plot[f1[x], {x, 15, 180}];

s1 = Show[p1, p2];

p2 = Plot[f1[x], {x, 15, 180}];

c2

points2=Table[{k 15, M2[[k]]}, {k, 1, 
          Length[M1]}]

p12 = 
        ListPlot[points2, PlotStyle -> PointSize[0.02]];

Fit[points2, {1, x}, x] // Expand

f12[x_] := 
      42.572727272727256` + 
        0.11540792540792548` x

p21 = Plot[f12[x], {x, 15, 180}];

s2 = Show[p12, p21];

d

Show[s1, s2];

Komisch scheinen die Teperaturrückgänge zwischendurch. Die Erwärmung findet allerdings mit der Zeit statt. Die Teperaturrückgänge könnten die Folge von Messungenauigkeiten sein.

Work

Teile

t1 = 
      Table[Floor[10 (44 +  Log[k!] + 6   Random[])]/10, {k, 1, 
            12}] // N

t1fix = {44.0, 50.5, 51.4, 48.9, 52.3, 55.4, 54.5, 57.3, 58.4, 63.3, 
        65.9, 66.6}

t2 = 
      Table[Floor[10 (44 +  Log[k!] + 6   Random[]^3)]/10, {k, 
            1, 12}] // N

t2fix = {44. , 47.5, 47.1, 52.2, 49.9, 50.6, 52.5, 58.3, 58.6, 59.1, 
        61.8, 64.3}

Hilfen

a = 0.8 Pi; 
    p1 = ParametricPlot3D[{Cos[t], Sin[t], t}, {t, 0, 2  Pi}, 
        ViewPoint -> {2.783,  0.517,  1.162}];
p2 = 
        ParametricPlot3D[{t  Cos[a], t  Sin[a], a}, {t, 0, 1.3}, 
          ViewPoint -> {2.783,  0.517,  
              1.162}];
p3 = 
        ParametricPlot3D[{0, 0, t}, {t, 0, 2  Pi}, 
          ViewPoint -> {2.783,  0.517,  
              1.162}];
Show[p1, p2];