Lösungen 1

1

a

x1=30; y1=10; z1=20;

f[x_]:=(x-10)^2

f1[x_]:=10-(x-10)^2

Plot[f[x],{x,0,30},PlotRange->{0,20}]

Plot[2x-20,{x,0,30},PlotRange->{0,20}]

Solve[(x -(y+20)/2)^2==0,{y}]//ExpandAll

Solve[(x -(0+20)/2)^2==z,{z}]//ExpandAll

f[x]//Expand

x1=30; y1=10; z1=20;
Plot3D[(x -(y+20)/2)^2 ,{x,0,30},{y,0,20},PlotRange->{0,20}]

b

solv1=Solve[f[x]==20,{x}]

x01=x/.solv1[[1]]

x02=x/.solv1[[2]]

solv2=NSolve[f[x]==20,{x}]//Flatten

x1=x/.solv2[[1]]

x2=x/.solv2[[2]]

len=Integrate[Evaluate[Sqrt[1+(f'[u])^2]/.u->x],{x,x01,x02}]

len=NIntegrate[Evaluate[Sqrt[1+(f1'[u])^2]/.u->x],{x,x1,x2}]

c

VQ= 30 20 10

VPex=Integrate[20-f[x],{x,x01,x02}]

VP=NIntegrate[20-f[x],{x,x01,x02}]

VN=VP y1

d

Solve[2x-20==y,{x}]

xx[y_]:=(y+20)/2; {xx[0],xx[y1]}

len1=Sqrt[y1^2+(xx[0]-xx[y1])^2]

%//N

Solve[VPex y1==r^2 Pi len1,{r}]

solv3=Solve[VN==r^2 Pi len1,{r}]//Flatten

r1=r/.solv3[[2]]

2

LaplaceTransform[xxx,t,s]

InverseLaplaceTransform[xxx,s,t]

a

LaplaceTransform[Sin[3t ]+Sinh[2t]-t^2,t,s]

b

LaplaceTransform[2-t+DiracDelta[t],t,s]

c

LaplaceTransform[(2-E^(-t))Sin[t],t,s]

d

LaplaceTransform[E^(1+2t) E^(1-t),t,s]

e

InverseLaplaceTransform[s/(4 s^2-2),s,t]//ExpandAll

InverseLaplaceTransform[s/(4 s^2-2),s,t]

f

InverseLaplaceTransform[1/(s^4-1),s,t]

Apart[1/(s^4-1)]

InverseLaplaceTransform[Apart[1/(s^4-1)],s,t]

g

InverseLaplaceTransform[2+1/(2s)+1/(s-1)^2,s,t]

3

Remove["Global`*"]

a

solv=DSolve[{y''[t]+y'[t]==c+Cos[t]-t,y[0]==1,y'[0]==0},y,t]//Flatten

u[t_,c_]:=Evaluate[(y[t]/.%)]

u[t,c]

u[t2,c3]

u[t,0]//ExpandAll

b

u[10,c]

Solve[u[10,c]==1]

((-3+82 (E^10)+(E^10) Cos[10]-(E^10) Sin[10])/(2 (1+9 (E^10))))//ExpandAll

N[%]

c

yc[t_,c_]:=(1/2) (E^(-t)) (3+2 c-2 c (E^t)+2 (E^t) t+2 c (E^t) t-(E^t) (t^2)-(E^t) Cos[t]+(E^t) Sin[t])

Solve[yc[10,c]==1,{c}]

Plot[yc[10,c],{c,0,20}]

4

Remove["Global`*"]

LaplaceTransform[y'''[t]-2 y'[t]-y[t],t,s]/.{LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->-1,y'[0]->0,y''[0]->0}

LaplaceTransform[Sinh[t],t,s]

Solve[(s^2)-Y[s]+(s^3) Y[s]-2 (1+s Y[s])==(1/(-1+(s^2))),{Y[s]}]

InverseLaplaceTransform[((1-s-(s^2))/((-1+s) (((1+s))^2))),s,t]

5

Remove["Global`*"]

LaplaceTransform[y'[t]+y[t]-z[t],t,s]/.{LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],LaplaceTransform[z[t],t,s]->Z[s],y[0]->1,z[0]->1}

LaplaceTransform[Sin[t],t,s]

LaplaceTransform[y[t]+z'[t]+z[t],t,s]/.{LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],LaplaceTransform[z[t],t,s]->Z[s],y[0]->1,z[0]->1}

LaplaceTransform[E^(-t),t,s]

Solve[{-1+Y[s]+s Y[s]-Z[s]==(1/(1+(s^2))),-1+Y[s]+Z[s]+s Z[s]==(1/(1+s))},{Y[s],Z[s]}]

-((-4-5 s-5 (s^2)-3 (s^3)-(s^4))/(2+4 s+5 (s^2)+5 (s^3)+3 (s^4)+(s^5)))//Apart

y[t]=Simplify[InverseLaplaceTransform[(1/(1+s))+((3-s)/(5 (1+(s^2))))+((4+s)/(5 (2+2 s+(s^2)))),s,t]/.Assumptions->(t∈Reals)]//ExpandAll

(E^(-t))-((1/10)+(I/10)) (E^((-1-I) t)) ((-2-I)+(1+2 I) (E^(2 I t)))+(1/5) (-Cos[t]+3 Sin[t])//ExpToTrig//Simplify

vx[t_]:=(1/5) (-Cos[t]+3 Sin[t]+Cosh[t] (5+Cos[t]+3 Sin[t])-(5+Cos[t]+3 Sin[t]) Sinh[t])

((-s-(s^2)-(s^3))/((1+(s^2)) (2+2 s+(s^2))))//Apart

z[t]=InverseLaplaceTransform[((1-2 s)/(5 (1+(s^2))))+((-2-3 s)/(5 (2+2 s+(s^2)))),s,t]

(-(1/10)+(I/10)) (E^((-1-I) t)) ((2+I)+(1+2 I) (E^(2 I t)))+(1/5) (-2 Cos[t]+Sin[t])//ExpToTrig//Simplify

vy[t_]:=(1/5) (-2 Cos[t]+Sin[t]+Cosh[t] (-3 Cos[t]+Sin[t])+(3 Cos[t]-Sin[t]) Sinh[t])

ParametricPlot[{vx[t],vy[t]},{t,0.5,3}]

6

Remove["Global`*"]

a

DSolve[{y'[t]== -y[t]  t - t,
              y[0]==1},y,t]

yExakt[t_]:=-(E^(-((t^2)/2))) (-2+(E^((t^2)/2)))

yExakt[t]//Expand

b

Solve[(yEu[k, Δt]-yEu[(k-1) ,Δt])/Δt==-yEu[(k-1), Δt] (k-1) Δt - (k-1) Δt,{yEu[k ,Δt]}]

yEu[k_,Δt_]:=((Δt)^2)-k ((Δt)^2)+yEu[-1+k,Δt]+((Δt)^2) yEu[-1+k,Δt]-k ((Δt)^2) yEu[-1+k,Δt];

Δt=0.25;yEu[0,Δt]=1;

Table[{k,k Δt,yEu[k, Δt]},{k,0,4}]//TableForm

yEu[4, Δt]

yExakt[1]//N

yEu[4, Δt]-yExakt[1]//N

7

Remove["Global`*"]

a

DSolve[{y''[t]-2y'[t]+1/2 y[t]==t-b,y[0]==0,y'[0]==0},y,t]

N[%]

y[t_,b_]:=8-2 b-4 (E^((1-(1/(Sqrt[2]))) t))-3 (Sqrt[2]) (E^((1-(1/(Sqrt[2]))) t))+b (E^((1-(1/(Sqrt[2]))) t))+(Sqrt[2]) b (E^((1-(1/(Sqrt[2]))) t))-4 (E^((1+(1/(Sqrt[2]))) t))+3 (Sqrt[2]) (E^((1+(1/(Sqrt[2]))) t))+b (E^((1+(1/(Sqrt[2]))) t))-(Sqrt[2]) b (E^((1+(1/(Sqrt[2]))) t))+2 t

y[t,b]

y[t,b]//ExpToTrig

Plot[y[t,0],{t,0,3}]

b

y[1,1]

y[1,1]//N

Lösungen 2

1

Remove["Global`*"]

a

p1=0.005; p2=1-p1;
pa1=0.95;pa2=1-pa1;

AA=p1 pa1

AB=p1 pa2

B=p2

AA+AB+B  (* Test *)

b

1000 AB

2 1000 AB

(* Gleich oder mehr als 2000 *)

4 1000 AB

2

a

Remove["Global`*"]

n=45;
xQuer=772.0;
σQuadrat=61^2;
σ=Sqrt[σQuadrat];
α=1-0.95;

σ//N

NV[x_,μ_,σ_, n_]:=1/(σ/Sqrt[n]  Sqrt[2 Pi]) E^(-1/2 ((x-μ) Sqrt[n]/σ)^2);
NV[μ,xQuer,σ,n]

h=40;   Plot[NV[μ,xQuer,σ,n],{μ,772.0-h,772.0+h}]

FindRoot[Integrate[NV[μ,xQuer,σ,n],{μ,772.0-hh,772.0+hh}]==0.95,{hh,35}]

h=17.82262499169023`;   Integrate[NV[μ,xQuer,σ,n],{μ,772.0-h,772.0+h}]

Integriere nur über die halbe Normalverteilung:

Integrate[NV[μ,xQuer,σ,n],{μ,xQuer,x}]==(1-α)/2

rootOben=FindRoot[Evaluate[Integrate[NV[μ,xQuer,σ,n],{μ,xQuer,x}]]==(1-α)/2,{x,772.0+35}]

cOben=x/.rootOben

cUnten=xQuer-(cOben-xQuer)

Integrate[NV[μ,xQuer,σ,n],{μ,cUnten,cOben}]

1-Integrate[NV[μ,xQuer,σ,n],{μ,cUnten,cOben}]

Das ist etwa α.  Lösung:   [cUnten, cOben] ist das Konfidenzintervall.

3

Remove["Global`*"]

a

M1={3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4,3,3,8,3,2,7,9,5,0,2,8,8,4,1,9,7,1,6,9,3,9,9,3,7,5};
M2={1,0,5,8,2,0,9,7,4,9,4,4,5,9,2,3,0,7,8,1,6,4,0,6,2,8,6,2,0,8,9,9,8,6,2,8,0,3,4,8,2,5,3,4,2,1,1,7,0};
m1=Mean[M1]//N

m2=Mean[M2]//N

s1=StandardDeviation[M1]//N

s2=StandardDeviation[M2]//N

b

p=1/10; M=Range[10]; Print[M];
EX=Sum[M[[k]]  p,{k,1,Length[M]}]//N

EquEXminEX=Sum[(M[[k]]-EX)^2  p,{k,1,Length[M]}]//N

s=Sqrt[EquEXminEX]

c    Abwerichungen im %

(EX-m1)/EX 100

(EX-m2)/EX 100

(s-s1)/s 100

(s-s2)/s 100

d

P1=Table[{k,M1[[k]]},{k,1,Length[M1]}]

P2=Table[{k,M2[[k]]},{k,1,Length[M2]}]

line1 = Fit[P1, {1,x},x]

line2 = Fit[P2, {1,x},x]

Plot[{line1,line2},{x,1,50}]

Plot[{line1,line2},{x,1,50},AspectRatio->Automatic]

4

Remove["Global`*"]

a

parbildungen = 10 10

Punkte in einem Gitter 10 mal 10

b

10!

c

1/10! //N

d

Binomial[10,3]

e

Binomial[10,3] 3!

f

gDurchm=3/10 //N

5

Remove["Global`*"]

a

<<StatisticalPlots`;

D1=Table[(k/10)^2,{k,1,10}]

D2=Table[(k/10)^3,{k,1,10}]

BoxWhiskerPlot[D1]

BoxWhiskerPlot[D2]

BoxWhiskerPlot[D1,D2]

b    Im 2. Satz systematisch Median und Quartile tiefer. Unwahrscheinlich dass Zufall.

6.

Remove["Global`*"]

(Subscript[n, 0]) = 35
3 neutral
24 Differenzen kleiner  0 ==>   Verfahren A  besser
8   Differenzen grösser 0    ==> Verfahren B besser

H0 ==>  beide Verfahren sind gleich
H1 ==>  beide Verfahren sind nicht gleich, Verfahren verschieden

Frage: Wahrscheinlichkeit, dass unter Annahme von H0 trotzdem eine Abweichung zwischen A und B auftritt, dass also H0 falsch sein muss?
Sei (Subscript[x, i])  der i-te Wert der beim Verfahren (A), (Subscript[x, i])' der i-te Wert beim Verfahren  (B).
Sei (Subscript[d, i])  =(Subscript[x, i])  - (Subscript[x, i]) '. Dann ist unter Annahme von H0 das Auftreten einer negativen Differenz gleich wahrscheinlich wie das Auftreten einer positiven Differenz.
Wir nehmen an,dass die Verteilungen A und B angesichts der Messwerte (Subscript[x, i])   und (Subscript[x, i])'  stetig sind (keine Anzahlen scharf trennbar). Daher kann man angesichts der daraus resultierenden Wahrscheinlichkeitsdichten P((Subscript[X, i])=(Subscript[X, i])') = 0 setzen. Die 3 neutralen werden daher aus der Betrachtung entfernt, da sie schleicht beurteilt sind und nichts zum Experiment beitragen.
Weiter sind die Zufallsgrössen für i=1,2,...,n unabhängig.
Damit wird neu n=24+8=32.
So ergibt sich z.B.für A neu eine Binomialverteilung mit p=(1/2), q = 1-(1/2)=(1/2) und n=32.
P(X=24)=(({{32}, {24}})) ((((1/2)))^24)((((1/2)))^((32-24))) = (({{32}, {24}})) ((((1/2)))^32) , P(X=k) := f(k)

Um weiter zu kommen betrachten wir die neue Alternativhypothese H1, welche postuliert, dass die (Subscript[x, i])-Werte im Durchschnitt wesentlich grösser sind als die (Subscript[x, i])'-Werte. 
H0 wird dann abgelehnt, wenn die Anzahl der positiven Differenzen   (SuperPlus[k]) einen kritischen Wert  (Subscript[k, (1-α)]) überschreitet oder gleich ist. 
Vorderung: P((SuperPlus[K]) ≥  (Subscript[k, (1-α)])) ≤  α,    α = Irrtumswahrscheinlichkeit.
Es gilt: P((SuperPlus[K]) ≥  (Subscript[k, (1-α)]))  =(∑_(i=k_(1-α))^n)  P((SuperPlus[K]) = i)  ≤  α  ==> (Subscript[k, (1-α)]) = ?

f[k_]:=Binomial[32,k] (1/2)^32;  f[k]

f[32]//N

s[k_]:=Sum[N[f[u]],{u,k,32}];  s[k]

s[k] ist die Wahrscheinlichkeit 
P[K ≥  24 (K grösser gleich 24)] = 1-P[K <  24 (K kleiner 24)]
P[K <  24(K kleiner 24)] = 1-P[K ≥  24 (K grösser gleich 24)] = 1-s[k]

Prepend[Table[{k,s[k], 1-s[k]},{k,0,32}],{"n","s[k]=α","1-s[k]=1-α"}]//TableForm

Ein Wert k ≥ 24 (k grösser gleich 24) kommt daher mit der Wahrscheinlichkeit 0.00350018... kleiner vor, je nach k. 
Für grössere α-Werte (alpha-Werte) müsste man k kleiner haben, damit P[K ≥  k, grösser gleich] ≤ α (kleiner gleich alpha)  eintrifft. Für k ≥ 25 (k grösser gleich 25) hat daher die Alternative eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit.
Da die eingetroffene reale Situation, die Alternative also mit k = 24 mit p= 0.00350018... so unwahrscheinlich aber dennoch real ist, müsste man H0 z.B. bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 oder bei α = 0.01ablehnen, denn es ist 0.00350018... < 0.01. Die Abweichung von einem erwarteten Resultat, dass die negativen und die positiven Differenzen etwa gleich oft vorkommen müsten, ist hier zu gross.

ListPlot[Table[{k,s[k]},{k,0,32}]]